163. Устойчивость: запас по фазе, ёмкостная нагрузка, компенсация

Усилитель, который на столе был спокоен, на плате звенит: к выходу подключили кабель, конденсатор фильтра или вход АЦП. Причина одна — в петле обратной связи появилась лишняя задержка, и запас по фазе кончился. Раздел — о том, как этот запас посчитать, увидеть на ступеньке и вернуть.

Как это называется в документации

Оригинал	Перевод
loop gain	петлевое усиление
crossover frequency	частота среза петли
phase margin	запас по фазе
damping ratio	коэффициент затухания
overshoot	выброс
ringing	звон
second pole	второй полюс
capacitive load	ёмкостная нагрузка
isolation resistor	развязывающий резистор
feedback capacitor	конденсатор обратной связи
input capacitance	входная ёмкость
open-loop output impedance	выходное сопротивление без обратной связи

163.1 Петля и запас по фазе

Сигнал обходит петлю: усилитель, цепь обратной связи и обратно на вход. Произведение их усилений — петлевое усиление T. Там, где |T| падает до единицы, — частота среза петли. Сколько фазы там осталось до −180°, — запас по фазе. При нуле петля становится генератором; при малом запасе схема не генерирует, но звенит.

У самого усилителя с одной частотой среза фаза уже −90°. Второй полюс добавляет ещё: у повторителя это выходное сопротивление усилителя вместе с ёмкостью нагрузки, fп = 1/(2π · Rвых · C). При 50 Ом и 10 нФ это 318 кГц — ниже частоты среза петли, и фаза проседает.

Запас по фазе пересчитывается в выброс на ступеньке — через систему второго порядка с тем же запасом. Повторитель с произведением усиления на полосу 1 МГц и выходным сопротивлением 50 Ом:

Две опорные точки стоит помнить: запас 60° — выброс около 10 %, запас 45° — около 25 %.

163.2 Как измерить петлю в модели

Петлю нельзя просто разрезать: усилитель без обратной связи уйдёт в насыщение. Приём для моделирования — разомкнуть её только по переменному току: между выходом и входом обратной связи ставят индуктивность в 1 ГГн (по постоянному току петля замкнута), а переменный сигнал вводят в вход обратной связи через конденсатор в 1 Ф. Тогда T = −vвых / vос.

Замер на повторителе с 10 нФ даёт срез 521 кГц и запас 31,4° — те же числа, что даёт расчёт по формуле петли в 163.1.

163.3 Развязывающий резистор

Резистор десятки ом между выходом усилителя и ёмкостью, а обратная связь — с выхода усилителя, до резистора. Ёмкость больше не образует с выходным сопротивлением чистый полюс: резистор добавляет ноль, и фаза возвращается.

С резистором 100 Ом тот же повторитель на 10 нФ имеет запас 85,7°, и на всём ряду от 1 до 47 нФ выброс не больше 1,1 % — на графике в 163.1 это нижняя линия.

Цена — резистор стоит последовательно с нагрузкой: ток нагрузки даёт на нём падение, которое обратная связь уже не исправит. Для входа АЦП или кабеля к высокоомному прибору это не страшно; для нагрузки, берущей миллиампер, — 0,1 В ошибки. Если ошибка мешает, обратную связь делят на две: резистором её снимают после развязки, с самой нагрузки, — постоянное напряжение там точное, а небольшим конденсатором подают с выхода усилителя на его инвертирующий вход — на высоких частотах петля не видит ёмкости.

163.4 Ёмкость входа и конденсатор в обратной связи

Второй полюс может сидеть и на входе. Ёмкость инвертирующего входа вместе с монтажом — единицы пикофарад, но при мегаомных резисторах этого хватает: у инвертирующего ×−1 на 1 МОм / 1 МОм с 10 пФ на входе полюс 1/(2π · (Rос ∥ Rз) · Cвх) = 1/(2π · 500 кОм · 10 пФ) — 31,8 кГц.

Модель: выброс 67 % на ступеньке и подъём АЧХ на 12,0 дБ на 123 кГц. Лекарство — конденсатор параллельно Rос, Cос = Cвх · Rз / Rос, здесь 10 пФ: делитель обратной связи становится одинаковым на всех частотах. С ним выброса нет, АЧХ ровная.

Отсюда же правило: высокоомная обратная связь почти всегда требует конденсатора. Мегаомы берут только там, где без них нельзя — трансимпедансный усилитель фотодиода, пьезодатчик.

163.5 Грабли

Повторитель звенит после подключения кабеля. Ёмкость кабеля с выходным сопротивлением усилителя съела запас по фазе — нужен развязывающий резистор.

Добавили конденсатор на выход «для фильтрации» — стало хуже. Тот же механизм; фильтр ставят после развязывающего резистора.

Звон появился только на плате. Монтажная ёмкость на инвертирующем входе при высокоомной обратной связи — конденсатор параллельно Rос.

Схема устойчива на ×10, но звенит повторителем. Повторитель — самый тяжёлый случай: вся петля без ослабления; в документации отмечают, устойчив ли усилитель при ×1.

Развязывающий резистор испортил точность. На нём падает ток нагрузки, а обратная связь снята до него.

163.6 Итоги

• Запас по фазе — сколько фазы осталось до −180° на частоте среза петли; 60° — выброс около 10 %, 45° — около 25 %.
• Повторитель с 1 МГц и 50 Ом на 10 нФ: второй полюс 318 кГц, срез петли 521 кГц, запас 31,4°, выброс 40,1 % в модели.
• Резистор 100 Ом с обратной связью до него поднимает запас до 85,7° и держит выброс не выше 1,1 % на ёмкостях 1…47 нФ.
• 10 пФ на входе при 1 МОм / 1 МОм дают полюс 31,8 кГц, выброс 67 % и подъём 12,0 дБ; конденсатор 10 пФ в обратной связи убирает и то, и другое.

Дальше: раздел 164 «Параметры реального ОУ».