165. Шум: сложение, резисторы, усилитель, 1/f и бюджет под АЦП

Шум — единственная ошибка, которую нельзя откалибровать: он случаен. Его можно только не пустить в тракт — выбрать сопротивления, усилитель и полосу. Раздел о том, как посчитать, сколько шума придёт на вход АЦП, понять, стоит ли с ним бороться, и когда шум, наоборот, помогает.

Как это называется в документации

Оригинал	Перевод
thermal (Johnson) noise	тепловой шум
voltage noise density (en)	спектральная плотность шума напряжения
current noise density (in)	спектральная плотность шума тока
source impedance	сопротивление источника
1/f (flicker) noise	шум 1/f, фликкер-шум
corner frequency	частота перегиба
noise bandwidth	шумовая полоса
root sum of squares (RSS)	корень из суммы квадратов
input-referred noise	шум, приведённый ко входу
peak-to-peak noise	размах шума
quantization noise	шум квантования
oversampling / averaging	передискретизация / усреднение
dither	подмешивание шума
signal-to-noise ratio (SNR)	отношение сигнал/шум

165.1 Шумы складываются корнем

Независимые источники шума не складываются напрямую — складываются их квадраты: U = √(U₁² + U₂² + …). Два одинаковых источника по 2 мкВ дают 2,83 мкВ, а не 4. Источник 10 мкВ и источник 1 мкВ вместе — 10,05 мкВ: меньший источник почти не виден.

Отсюда первое правило борьбы с шумом: найти самый сильный источник и заниматься только им. Уменьшить слабый в десять раз — выигрыш меньше процента.

165.2 Тепловой шум резистора

Любой резистор шумит: U = √(4 · k · T · R · Δf). В полосе 20 Гц…20 кГц при 25 °C модель ngspice даёт:

Сопротивление в сто раз больше — шум в десять раз больше: он растёт как корень из сопротивления и из полосы.

165.3 Шум усилителя и каскада

Шум усилителя задают спектральной плотностью, приведённой ко входу, — например, 20 нВ/√Гц. В каскаде ×11 он попадает на выход вместе с шумом резисторов обратной связи. Модель, полоса 20 Гц…20 кГц:

С резисторами 100 кОм / 10 кОм их шум — уже заметная доля; уменьшив сопротивления в десять раз при том же усилении, получаем шум почти одного усилителя. Ниже определённого уровня шум задаёт уже только прибор, и дальше помогает только прибор с меньшей плотностью.

165.4 Шум тока и сопротивление источника

У усилителя есть второй шум — шум тока in. Сам по себе он не виден: он становится напряжением только на сопротивлении, через которое течёт. Повторитель с шумом напряжения 20 нВ/√Гц на датчике с внутренним сопротивлением 1 МОм, полоса 20 Гц…20 кГц:

У биполярного входа шум тока на мегаоме даёт 0,5 пА/√Гц × 1 МОм = 500 нВ/√Гц — в 25 раз больше его собственного шума напряжения, и шум вчетверо больше, чем у полевого. У полевого входа шум тока ничтожен, и остаётся только шум самого датчика — меньше не бывает.

Граница между «важен шум напряжения» и «важен шум тока» — отношение en / in: здесь 20 нВ / 0,5 пА = 40 кОм. Источник заметно ниже этого сопротивления — выбирают усилитель по шуму напряжения, выше — по шуму тока, и для высокоомных датчиков (фотодиод, пьезодатчик, электрохимический датчик) берут полевой вход.

165.5 Шум 1/f и частота перегиба

На низких частотах шум усилителя растёт как 1/√f — это шум 1/f. Частота, на которой он сравнивается с белым, — частота перегиба fп. Полный шум в полосе fмин…fмакс:

U = en · √(fп · ln(fмакс / fмин) + fмакс − fмин)

Для усилителя 20 нВ/√Гц с перегибом 100 Гц в полосе 0,1…10 Гц — той, где живут медленные датчики: 434 нВ. Белого шума в этой полосе всего 63 нВ — шум 1/f больше в семь раз. Поэтому для точных медленных измерений выбирают усилители с низкой частотой перегиба или с автообнулением, а фильтром его не убрать: он в той же полосе, что и сигнал.

165.6 Полоса решает всё

Шум растёт как корень из полосы, а без фильтра полосу ограничивает только сам усилитель. Каскад ×11 на 10 кОм / 1 кОм:

В модели с идеальным усилителем фильтр убирает шум в двадцать раз. Настоящий усилитель с полосой 1 МГц (разделы 162–164) сам срезает всё выше 91 кГц, и выигрыш фильтра — примерно в семь раз. В обоих случаях фильтр перед АЦП, отрезающий всё выше полосы сигнала, дешевле любого малошумящего прибора.

165.7 Бюджет шума под АЦП

Один код 12-разрядного АЦП при шкале 3,3 В — 806 мкВ. Размах шума приблизительно в 6,6 раза больше его действующего значения: 11,2 мкВ после фильтра — это около 74 мкВ размаха, в десять раз меньше кода. Такой тракт показывает стабильные коды, и заниматься шумом не нужно.

Считают так: 1. приводят все источники к одной точке (обычно ко входу АЦП); 2. складывают корнем и умножают на 6,6 — получают размах; 3. сравнивают с кодом АЦП: если размах меньше кода, шум не виден; если больше — сначала сужают полосу, потом уменьшают сопротивления, и только потом меняют усилитель.

165.8 Квантование и усреднение

Сам АЦП тоже вносит ошибку: округление до кода равномерно распределено в пределах кода, и её действующее значение — код / √12, 232,6 мкВ. Отношение сигнал/шум идеального 12-разрядного АЦП — 74,0 дБ. Тихий тракт из 165.7 на этом фоне не виден: √(11,2² + 232,6²) = 232,8 мкВ.

Усреднение N отсчётов уменьшает случайную ошибку в √N раз: 16 отсчётов — вчетверо, это ещё два разряда. Но только если шум есть. Опыт: идеальный 12-разрядный АЦП, постоянный вход от 0 до 3 кодов, среднее 16 отсчётов:

Тихий тракт даёт 16 одинаковых отсчётов, и среднее повторяет лесенку. С шумом в полкода отсчёты расходятся по соседним кодам, и их среднее идёт за входом плавно; случайная ошибка — √((0,5² + 1/12) / 16) = 0,144 кода: квадраты шума и квантования складываются и делятся на 16, то есть действующее значение уменьшается вчетверо.

У настоящего АЦП есть и свой шум, и он подмешивается сам: отсчёты даже тихого тракта обычно расходятся по соседним кодам. Усреднение выигрывает √N только против белого шума; шум 1/f из 165.5 и дрейф оно почти не трогает.

Отсюда приём подмешивания: в слишком тихий тракт намеренно добавляют шум или пилу размахом в код-два, чтобы усреднение давало разряды. Обратное тоже верно: если усреднение нужно, фильтр перед АЦП не должен срезать шум до долей кода.

165.9 Грабли

Поставили малошумящий усилитель — шум не уменьшился. Шум задавали резисторы или полоса, а не прибор.

Мегаомная обратная связь «шумит». Тепловой шум растёт как корень из сопротивления: 10 МОм шумят в десять раз сильнее 100 кОм.

Высокоомный датчик шумит сильнее расчёта. Шум тока усилителя на сопротивлении источника; биполярный вход на мегаомах — полевой вход.

Фильтр не помогает медленному датчику. В полосе долей герца преобладает шум 1/f; его не отфильтровать — нужен прибор с низким перегибом.

Коды АЦП «прыгают» при неподвижном сигнале. Размах шума больше кода; чаще всего не хватает фильтра перед АЦП.

Усреднение не добавило разрядов. Шум на входе АЦП много меньше кода — все отсчёты одинаковы; подмешать шум или пилу.

Складывали шумы напрямую и переоценили. Независимые источники складываются корнем из суммы квадратов.

165.10 Итоги

• Независимые шумы складываются корнем: 2 и 2 мкВ — 2,83 мкВ, 10 и 1 мкВ — 10,05 мкВ; бороться стоит только с самым сильным.
• Резистор 100 кОм в полосе 20 Гц…20 кГц шумит на 5,74 мкВ, 10 МОм — на 57,4 мкВ.
• Каскад ×11 с усилителем 20 нВ/√Гц: 36,5 мкВ на 100 кОм / 10 кОм и 31,7 мкВ на 10 кОм / 1 кОм.
• На источнике 1 МОм биполярный вход даёт 73,0 мкВ, полевой — 18,4 мкВ; граница выбора — en / in = 40 кОм.
• Шум 1/f с перегибом 100 Гц в полосе 0,1…10 Гц — 434 нВ против 63 нВ белого.
• Без фильтра в полосе до 1 МГц — 219 мкВ с идеальным усилителем и 82 мкВ с усилителем 1 МГц; RC-фильтр 1,59 кГц оставляет 11,2 мкВ, при коде АЦП 806 мкВ.
• Квантование — 232,6 мкВ; усреднение 16 отсчётов работает только с шумом: без него лесенка до 0,49 кода, с шумом в полкода — 0,14 кода.

Дальше: раздел 166 «Резисторы в деталях: ТКС, импульс, шунт, делитель батареи».