50. ВАХ, делитель напряжения, RC-цепи

Закон Ома описывает резистор. Но на плате есть детали, у которых сопротивление не постоянно, и есть цепи, где важно не только сколько, но и когда. Три вещи из этого раздела встречаются в каждой схеме рядом с микроконтроллером: вольт-амперная характеристика объясняет, почему светодиод нельзя включить без резистора; делитель напряжения — как измерить 12 В входом, рассчитанным на 3,3; RC-цепь — как сгладить, как отфильтровать и как задержать.

Как это называется в документации

Оригинал	Перевод
I-V curve, characteristic	вольт-амперная характеристика, ВАХ
linear / non-linear	линейный / нелинейный элемент
operating point	рабочая точка
static / dynamic resistance	статическое / дифференциальное сопротивление
voltage divider	делитель напряжения
output impedance, source impedance	выходное сопротивление, сопротивление источника
loading effect	влияние нагрузки на источник
time constant (τ)	постоянная времени
step response	реакция на скачок
cutoff frequency, −3 dB point	частота среза
low-pass / high-pass filter	фильтр нижних / верхних частот
ripple	пульсации
settling time	время установления
contact bounce, debounce	дребезг контакта, его подавление

50.1 ВАХ: почему резистор — исключение, а не правило

Вольт-амперная характеристика — график зависимости тока от напряжения. У резистора это прямая через ноль: вдвое больше напряжение — вдвое больше ток. Такая деталь называется линейной, и с ней работает закон Ома в чистом виде.

У диода — совсем другое. Ток растёт по показательному закону: при 0,60 В через кремниевый диод течёт 1,00 мА, при 0,66 В — уже 3,62 мА. Плюс шестьдесят милливольт — ток втрое больше. На декаду тока приходится около 107 мВ, поэтому в справочниках и пишут «падение примерно 0,7 В»: при любом разумном токе оно почти одно и то же.

Отсюда два практических следствия.

Диод и светодиод включают только с ограничителем тока. Если подать на светодиод напряжение чуть больше рабочего, ток вырастет во много раз и деталь сгорит. Резистор в цепи (раздел 49.3) превращает задачу «задать напряжение точно» в задачу «задать ток примерно» — а это выполнимо.

«Сопротивление диода» без указания рабочей точки — бессмыслица. При 0,66 В и 3,62 мА статическое сопротивление U/I равно 183 Ом, а дифференциальное dU/dI — 12,9 Ом, в четырнадцать раз меньше. Первое отвечает на вопрос «сколько тока при этом напряжении», второе — «как изменится ток при малом изменении напряжения». В схемах со стабилитронами и в стабилизаторах важно именно второе.

50.2 Делитель напряжения

Два резистора между напряжением и землёй; сигнал снимается с середины:

Uвых = Uвх · R2 / (R1 + R2)

Задача, которая встречается постоянно: измерить напряжение батареи 12 В входом АЦП со шкалой 3,3 В. Делитель 27 кОм / 10 кОм даёт из 12 В 3,24 В — почти вся шкала. Но 12 В — номинал: свинцовый аккумулятор на зарядке держит 14,4 В и больше, и тот же делитель даёт уже 3,89 В — выше шкалы и выше питания. АЦП упрётся в 4095, а выброс сверху откроет защитный диод входа (раздел 62). Поэтому делитель считают по наибольшему напряжению: 36 кОм / 10 кОм дают из 15 В 3,26 В, а из 12 В — 2,61 В. Расчёты ниже — для делителя 27/10.

Через делитель всё время течёт ток: 12 В / 37 кОм = 324 мкА, то есть 3,9 мВт впустую. Для устройства с питанием от сети это пустяк, для батарейного — иногда больше, чем потребляет спящий микроконтроллер (раздел 46.5). Лечится либо большими номиналами, либо ключом, который подключает делитель только на время измерения.

Делитель — не источник напряжения. Как только к выходу подключается нагрузка, она встаёт параллельно нижнему плечу и напряжение падает:

Нагрузка, равная нижнему плечу, роняет выход почти вдвое. Чтобы просадка была меньше процента, нагрузка должна быть больше 723 кОм — в 72 раза больше нижнего плеча.

Выходное сопротивление делителя — это R1 параллельно R2, здесь 7,3 кОм. Именно эта величина важна для АЦП: вход набирает заряд на внутренний конденсатор через сопротивление источника, и чем оно больше, тем дольше нужно держать выборку (раздел 14.2). Семь килоом — приемлемо при достаточном времени выборки; сто килоом уже требуют внимания.

50.3 RC-цепь во времени

Резистор и конденсатор — самая частая пара на плате. Их произведение называется постоянной времени: τ = R · C. Для 10 кОм и 1 мкФ это 10 мс.

Конденсатор заряжается не линейно, а по экспоненте:

Отсюда правило «пять постоянных времени — считай, зарядился»: здесь это 50 мс. Обратная задача решается логарифмом: до половины напряжение доходит за 6,93 мс — не за половину от 5τ, а заметно раньше.

Тот же расчёт нужен для стартовых цепей, для задержек сброса, для времени готовности опорного напряжения.

50.4 RC-цепь по частоте

Одна и та же цепь — фильтр нижних частот. Частота среза:

f = 1 / (2 · π · R · C)

Для 10 кОм и 1 мкФ это 15,9 Гц; для 1 кОм и 100 пФ — 1,59 МГц.

На частоте среза остаётся 0,707 амплитуды (те самые −3 дБ), дальше затухание идёт 20 дБ на декаду: вдесятеро выше среза — амплитуда 0,0995, в сто раз выше — 0,01.

⚠️ Простой RC — слабый фильтр. Сетевая наводка 50 Гц через фильтр с срезом 15,9 Гц ослабляется до 30 % — всего втрое. Чтобы задавить её вдесятеро сильнее, срез придётся опустить до 1,6 Гц, а это уже секундная инерция. Когда нужно и быстро, и чисто, ставят фильтр второго-третьего порядка либо давят помеху усреднением в программе (например, целым числом периодов сети).

Если поменять резистор и конденсатор местами, получится фильтр верхних частот: постоянная составляющая не проходит, быстрые изменения проходят. Так развязывают по переменному току и так ловят фронты.

50.5 🔧 ШИМ плюс RC вместо ЦАП

Классический приём: вывод ШИМ через RC-цепь даёт аналоговое напряжение, пропорциональное скважности (раздел 13.5). Среднее получается точным, но поверх него остаётся пила.

При ШИМ 1 кГц через цепь 10 кОм / 1 мкФ (период — десятая доля постоянной времени) и скважности 50 %:

• среднее — ровно 1,650 В, как и задано;
• пульсации — 82,5 мВ размахом, то есть 2,5 % шкалы.

Для регулировки яркости светодиода это незаметно. Для опорного напряжения компаратора или входа АЦП — уже нет: 82 мВ это сотня шагов 12-разрядного АЦП.

Уменьшить пульсации можно двумя способами, и оба чего-то стоят:

Правило: пульсации пропорциональны отношению периода ШИМ к постоянной времени. Увеличив τ, платят временем установления — ровно во столько же раз; подняв частоту ШИМ, время не теряют, но платят разрядностью: ШИМ 10 кГц с той же цепью 10 мс даёт те же 8,2 мВ, что и τ = 100 мс, а устанавливается по-прежнему за 50 мс. Если нужно и чисто, и быстро, и с полной разрядностью — нужен ЦАП (раздел 15).

50.6 Конденсатор перед АЦП

Второй частый случай: конденсатор прямо на входе АЦП. Он нужен не столько для фильтрации, сколько для того, чтобы отдать заряд в момент выборки. Внутренний конденсатор выборки-хранения имеет ёмкость порядка единиц пикофарад; внешние 100 нФ больше него в 20 000 раз.

При подключении входа заряд перераспределяется, и напряжение проседает на 50 миллионных долей — 165 мкВ при 3,3 В. Шаг 12-разрядного АЦП — 806 мкВ, то есть просадка впятеро меньше одного шага и на результат не влияет. Без внешнего конденсатора всю эту порцию заряда пришлось бы брать через сопротивление источника, и время выборки выросло бы многократно.

Но это верно, пока между выборками внешний конденсатор успевает подзарядиться через сопротивление источника: у делителя из 50.2 постоянная времени — 7,3 кОм × 100 нФ = 0,73 мс. Если выборки частые, а конденсатор выборки перед каждой из них разряжен (АЦП перебирает каналы, и соседний сидит у нуля), вход забирает средний ток — ёмкость выборки × напряжение × частота выборок. При 5 пФ, 3,3 В и миллионе выборок в секунду это 16,5 мкА, и на 7,3 кОм напряжение просядет примерно на 120 мВ — полторы сотни шагов. Быстрых изменений сигнала за такой цепью вход тоже не увидит. Внешний конденсатор выручает при редких измерениях медленного сигнала; для частых нужен повторитель (раздел 56.1).

50.7 Дребезг контакта

Механический контакт при замыкании не замыкается один раз: он несколько раз отскакивает, порождая пачку импульсов длительностью в сотни микросекунд. Микроконтроллер увидит десяток нажатий вместо одного (раздел 7.6).

Аппаратное решение — RC-цепь на входе. Если конденсатор стоит прямо на кнопке (так на схеме в разделе 8.5), он сглаживает только подъём напряжения — отпускание и отскоки, а спад нет: контакт разряжает его мгновенно, и любое короткое касание или помеха сразу засчитываются нажатием. Поэтому между кнопкой и конденсатором ставят резистор. С резистором 10 кОм и конденсатором 100 нФ нажатие разряжает конденсатор с постоянной времени 1 мс, и до порога нуля входного триггера Шмитта (около 0,3 питания) напряжение идёт 1204 мкс. Отпускание заряжает его через подтяжку и тот же резистор, 20 кОм, — до порога единицы (около 0,7 питания) 2408 мкс. Отскоки по сотне-другой микросекунд через такую цепь не проходят, а на восприятие человеком задержка в пару миллисекунд не влияет.

Программное решение — задержка 20 мс перед подтверждением состояния — перекрывает ту же цепь с восьмикратным запасом даже при отпускании и не требует деталей. Обычно начинают с него, а RC ставят там, где вход нужен чистым аппаратно: например, при пробуждении из сна или на входе счётчика импульсов (раздел 46.5).

50.8 Грабли

Измеренное делителем напряжение ниже расчётного. Нагрузка сравнима с нижним плечом либо АЦП не успевает набрать заряд: выходное сопротивление делителя слишком велико для выбранного времени выборки.

Показания «плывут» при смене каналов АЦП. Соседний канал с высоким сопротивлением источника не успел разрядить конденсатор выборки. Увеличить время выборки или поставить конденсатор на вход.

Делитель разряжает батарею. 324 мкА текут круглосуточно. Отключать делитель ключом.

Светодиод сгорел «сам». Включён без резистора или напряжение оказалось чуть выше — при показательной характеристике этого достаточно.

Фильтр не давит наводку. Одиночная RC ослабляет 50 Гц втрое, не больше. Считать по формуле, а не «на глаз».

После RC-фильтра сигнал запаздывает. Это не дефект, а плата за фильтрацию: постоянная времени работает в обе стороны. В контуре регулирования запаздывание съедает запас устойчивости (раздел 47.2).

ШИМ через RC «шумит» на АЦП. Пульсации 2,5 % шкалы. Больше постоянная времени или выше частота ШИМ.

Кнопка иногда срабатывает дважды. Дребезг: нет ни RC, ни программной задержки, или конденсатор стоит прямо на кнопке, без резистора.

50.9 Итоги

• Линейность — свойство резистора, а не деталей вообще; у диода ток растёт по показательному закону, и 60 мВ меняют его втрое.
• Статическое и дифференциальное сопротивление — разные величины; у диода они отличаются в четырнадцать раз.
• Делитель считается формулой, но ведёт себя как источник с выходным сопротивлением R1 ∥ R2; нагрузка, сравнимая с плечом, роняет выход вдвое.
• Постоянная времени τ = RC: 63 % за τ, 99 % за 5τ; обратная задача решается логарифмом.
• Та же цепь по частоте — фильтр со срезом 1/(2πRC) и наклоном 20 дБ на декаду; одиночная RC давит сетевую наводку всего втрое.
• ШИМ через RC даёт точное среднее и пульсации 2,5 % при периоде в десятую долю постоянной времени. Пульсации пропорциональны отношению периода к τ: рост τ во столько же раз замедляет реакцию, а рост частоты ШИМ стоит разрядности.
• Конденсатор у входа АЦП нужен, чтобы отдать заряд в момент выборки.
• Дребезг подавляют RC с резистором между кнопкой и конденсатором (постоянная времени 1 мс на нажатие и 2 мс на отпускание) или программной задержкой на 20 мс.

Дальше: раздел 50а «Цепь по частоте: АЧХ, ФЧХ и диаграмма Боде» — та же RC-цепь по частоте целиком: децибелы, фаза, второй порядок, фильтр перед АЦП и АЧХ, снятая самим микроконтроллером.