178. Активные фильтры: Саллен–Ки, порядок, добротность, фильтр перед АЦП

RC-цепь из раздела 50.4 — фильтр первого порядка: дальше среза он даёт 20 дБ на декаду и ничего больше. Когда этого мало — а перед АЦП мало почти всегда, — ставят активный фильтр: те же резисторы и конденсаторы, но с усилителем, который делает из них резонансный контур без катушки.

Числа ниже — модель ngspice на макромодели ОУ из раздела 164. Все фильтры сделаны на одну частоту среза около 1073 Гц.

Как это называется в документации

Оригинал	Перевод
active filter	активный фильтр
Sallen–Key topology	схема Саллена–Ки
multiple feedback (MFB)	схема с многопетлевой обратной связью
cutoff frequency (fc)	частота среза
filter order	порядок фильтра
quality factor Q	добротность
Butterworth / Bessel / Chebyshev	варианты характеристик
passband ripple / peaking	подъём в полосе пропускания
anti-aliasing filter	противомаскировочный фильтр
Nyquist frequency	частота Найквиста
group delay	групповая задержка

178.1 Почему первого порядка не хватает

АЦП с частотой выборки 10 кГц «видит» всё, что выше 5 кГц, как ложный сигнал на других частотах — это маскировка (aliasing). Задача фильтра — задавить всё выше половины частоты выборки. Сравним на одной частоте среза:

Каждый порядок добавляет 20 дБ на декаду: первый даёт 20, второй 40, четвёртый 80. На частоте Найквиста разница между первым и четвёртым порядком — 40 децибел, то есть в сто раз по напряжению.

Четвёртый порядок здесь — два одинаковых звена, и это не фильтр Баттерворта: уже на 1 кГц −4,06 дБ, а −3 дБ приходятся на 923 Гц, а не на 1073, как у настоящего Баттерворта четвёртого порядка с той же частотой. Для плоской полосы звенья делают разными — с добротностью 0,54 и 1,31 на той же частоте 1073 Гц: тогда на 1 кГц −1,96 дБ, а на 5 и 10 кГц почти то же, что у пары одинаковых, — −53,5 и −77,6 дБ.

178.2 Схема Саллена–Ки

Два резистора и два конденсатора вокруг повторителя. Частота среза — 1 / (2π · √(R1 · R2 · C1 · C2)), добротность при равных резисторах — √(C1 / C2) / 2. В модели R = 10 кОм, C1 = 22 нФ, C2 = 10 нФ: срез 1073 Гц, добротность 0,74 — характеристика Баттерворта, максимально плоская в полосе пропускания.

Почему усилитель вообще нужен: конденсатор C1 подключён не к земле, а к выходу повторителя. Повторитель «подпирает» его напряжением, и пара RC-звеньев перестаёт нагружать друг друга — получается второй порядок с управляемой добротностью, а не два независимых первого.

178.3 Добротность: подъём и выброс

Добротность задаётся отношением конденсаторов, и она решает, как фильтр ведёт себя у среза и на ступеньке:

При добротности 1,5 фильтр поднимает всё, что рядом со срезом, на четыре децибела и звенит на ступеньке — ровно как усилитель с малым запасом по фазе (раздел 163.2). Для измерительного тракта это плохо: помеха у среза усиливается, а быстрый скачок сигнала даёт выброс, который АЦП увидит как реальное значение.

Поэтому перед АЦП берут Баттерворта (плоская полоса) или Бесселя (ровная групповая задержка, ещё меньший выброс), а Чебышева с его подъёмом — там, где важна крутизна, а не форма сигнала.

178.4 Допуск элементов

Те же 10 кОм, но конденсаторы с допуском 10 % в разные стороны — 24,2 и 9 нФ:

Ослабление почти не изменилось, а вот добротность выросла с 0,74 до 0,82, и появился подъём. Отсюда правило: в фильтрах — конденсаторы C0G и резисторы 1 % (разделы 167.2 и 166.1), а не X7R, у которого ёмкость уходит и от температуры, и от напряжения.

178.5 Сколько порядков нужно перед АЦП

Считают так: помеха на частоте Найквиста должна быть задавлена ниже половины младшего разряда. Для 12 разрядов это 20 · lg(2 · 4096) ≈ 78 дБ. В модели на 5 кГц второй порядок даёт 26,7 дБ, четвёртый — 53,4 дБ: даже четвёртого мало, если помеха может быть размахом во всю шкалу.

Выходов два, и обычно их сочетают:

• поднять частоту выборки — при 100 кГц вместо 10 кГц частота Найквиста уходит на 50 кГц, где тот же фильтр второго порядка даёт уже больше 60 дБ, а лишние отсчёты усредняют (раздел 165.8);
• добавить порядков — каскад из двух-трёх звеньев Саллена–Ки, но каждое звено добавляет свои допуски, шум и смещение.

Практическое сочетание для медленных датчиков: RC-звено прямо у входа АЦП (раздел 50.6), фильтр второго порядка в тракте и передискретизация с усреднением в программе.

178.6 Грабли

АЦП показывает сигнал, которого нет. Маскировка: помеха выше половины частоты выборки без фильтра превращается в низкочастотный «сигнал».

Фильтр поставили, а помеха осталась. Первый порядок даёт на Найквисте всего 13,6 дБ — этого мало.

У среза сигнал стал больше, чем в полосе. Добротность больше 0,707: подъём +4 дБ при Q = 1,5.

После скачка сигнала АЦП ловит завышенное значение. Выброс переходной характеристики: 33,0 % при Q = 1,5 против 5,7 % при 0,74.

Частота среза уехала после нагрева. Конденсаторы X7R вместо C0G.

Каскад из трёх звеньев работает хуже двух. Каждое звено добавляет шум и смещение усилителя (разделы 164 и 165); порядок наращивают только до необходимого.

178.7 Итоги

• На частоте Найквиста 5 кГц: RC первого порядка −13,6 дБ, Саллен–Ки второго −26,7 дБ, четвёртого — −53,4 дБ.
• Частота среза 1 / (2π · √(R1R2C1C2)), добротность √(C1/C2) / 2: 10 кОм, 22 и 10 нФ дают 1073 Гц и 0,74.
• Добротность 1,5 вместо 0,74: подъём +4,04 дБ вместо +0,04 и выброс 33,0 % вместо 5,7 %.
• Допуск конденсаторов 10 % поднимает добротность до 0,82 и даёт +0,29 дБ.
• Для 12 разрядов нужно около 78 дБ на Найквисте — отсюда передискретизация вместо погони за порядком фильтра.

Дальше: раздел 179 «Генераторы и нелинейные узлы: релаксационный, мост Вина, точный выпрямитель, пиковый детектор».